Стэндж и Харрисс: математика в эпоху ИИ, не только доказательства, но и иллюстрация

Гостевой пост Кейт Стэндж и Эдмунда Харрисса в блоге What's new (редакционная пометка за подписью «T.» сообщает, что текст изначально был написан в другом формате и конвертирован с помощью ИИ). Авторы отталкиваются от январского семинара в Институте Анри Пуанкаре (IHP): математики, историки, художники и преподаватели в рамках специального триместра об использовании иллюстраций в математических исследованиях обсуждали, что значит «строгая» иллюстрация. По итогам написана статья «Mathematical Illustration: Proof, Intuition and AI», летом, в контексте Лейденской декларации об искусственном интеллекте и математике; она принята в журнал Notices of the American Mathematical Society. Тезис поста: математическая иллюстрация (компьютерная графика и другие средства, обращённые к чувствам помимо символической записи), одна из форм деятельности математика-человека, выходящая за рамки написания доказательств, и опыт этой дисциплины может подсказать, куда двигаться математике дальше.

Проблему авторы пересказывают вслед за Брайной Кра: многие годы выпуск теорем был главной мерой успеха, от него зависят должности и премии, но это всегда был лишь заменитель того, что измерить труднее, понимания. Глубокие теоремы были редки и трудны, поэтому надёжно выявляли глубокую мысль; ИИ эту редкость нарушил. Для Кра доказательство, «история, картина, озарение, объяснение». Сильвия Де Тоффоли и Эймон Дуэде отвергают идею, что математика, игра, которую машины теперь могут выиграть: цель не сводится к проверяемому решению, математика, «корпус знания, с которым работает, который осмысляет и переваривает научное сообщество», а не реестр результатов. Матильда Марколли идёт дальше: большие теоремы никогда не были сутью, лишь системой ценностей, которую выбрало сообщество, и выбор можно сделать заново. Грант Сандерсон спрашивает, как на практике по-настоящему отдавать должное другим формам математической работы и понимания.

Другие формы знания уже получали признание. Статья начинается с ручного рисования, обязательного в обучении в École Polytechnique Гаспара Монжа в XIX веке; на январском семинаре историк Фредерик Брешенмахер сказал об этом: «Рисовать, значило знать». Авторы прослеживают, как эта традиция была отодвинута в XX веке, но сохранилась и отчасти проявилась в споре 1990-х об отношении доказательства и смысла, после влиятельной статьи Артура Джаффе и Фрэнка Куинна многие математики высказались, самый известный, Билл Терстон со статьёй «On Proof and Progress in Mathematics». Сообщество Illustrating Mathematics выросло из этой традиции: оно сложилось в 2019 году за семестр в ICERM и в этом году организовало триместр в IHP. Оно объединяет математиков, которые развивают изображения, модели, программы и опыт математики; особый акцент, иллюстрация как метод исследования: исследовать, а не только объяснять.

Собственный пример авторов, алгебраические «звёздные пейзажи» (algebraic number starscapes): картинки показывают сложную структуру комплексных корней рациональных кубических многочленов (работа со Стивом Треттелом; к ней присоединились Джейдев Атрея, Габриэль Дорфсман-Хопкинс и Клаудио Гонсалес). Когда перешли на шейдеры, наивный первый вариант кода превращал окружности в эллипсы, но авторы поняли, что непреднамеренное искажение выявило дополнительное измерение осмысленной структуры. Такие картинки показывают математику, которая ещё не исследована, а не объясняют известное.

И доказательство, и иллюстрация могут вводить в заблуждение, особенно в исследованиях. Возможности больших языковых моделей имеют цену: способность писать код делает иллюстрацию доступнее, но при вайбкодинге мы оказываемся, по словам авторов, «в двух шагах от знания»: может быть непонятен даже сам алгоритм построения. Для доказательств проблема «переваривания» вышла на первый план: в этом месяце по запросу Иоанниса Циокоса GPT-6 Astra нашёл Chair44, первую трёхмерную апериодическую моноплитку. Циокос поделился 61-страничной статьёй и, как сообщают авторы, говорит, что понял интуитивный геометрический аргумент, но не математику. Хаим Гудман-Штраус затем изложил аргумент на восьми страницах вокруг диаграммы из согласующих стрелок, делающей видимой структуру суперплиток; получилось классическое иерархическое доказательство апериодичности. Иллюстрация самой фигуры в статье Циокоса, по словам авторов, стала важной подсказкой к ключевой идее.

Как иллюстрация может быть строгой? Авторы опираются на Валерию Джардино: представления, орудия мысли, а у иллюстрации есть «аффордансы», прочтения, действия и выводы, к которым рисунок приглашает. Они предлагают более сильное определение: аффордансы, это свойства иллюстрации, которые доказательство подтверждает как точные. И наоборот, доказательство может показать, что кажущееся свойство аффордансом не является: ранние изображения множества Мандельброта казались показывающими его несвязным, но на пиксельной картинке деталь тоньше шага между пикселями можно пропустить. А свойства вроде числа «луковиц» (bulbs) заданного размера у главной кардиоиды можно доказать верными, если размер пикселя достаточно мал.

Вопросы о вовлечённости и способности иллюстрации раскрывать смысл остаются без чётких ответов, но их задаёт и академическое искусство работам студентов, у него есть проверенный метод, «крит» (crit): обсуждение работы, часто с минимальным вступлением, чтобы выявить, как её воспринимает аудитория и чем это отличается от замысла автора. Жан Шмитт, профессор основ искусства, помог выстроить рамку крита, использованную в течение триместра; авторы отмечают сходство со стилем московского семинара Гельфанда. Доклад Шмитта опирался на идею Тима Ингольда о мышлении через делание: форма и понимание возникают в процессе работы с инструментами и материалами, так же студентов Монжа учили через рисование, а не через разглядывание чужих рисунков. Ценность и понимание рождаются из усилия создания, иллюстрации или доказательства, не меньше, чем из рассматривания чужого.

Эти идеи из искусства делают явным то, что всегда подразумевалось в математическом сообществе: быть математиком, значит и быть увлечённым зрителем чужой работы. Сообщество ценит эстетику, элегантность и проницательность; чрезмерная важность публикаций и ранее недоказанных результатов лишь заслонила эти ценности. Инфраструктура растёт: сеть Geometry Labs United объединяет группы во многих университетах, где студенты и аспиранты работают с постдоками и преподавателями, исследуя математику через эксперимент и визуализацию. В заключительном докладе семинара Гортензия Сото показала, как работа с физическими материалами поддерживает действия, восприятие и ощущения учащихся на пути к пониманию. Итог авторов: ответить на призыв Сандерсона отдавать должное тому, что выходит за рамки доказательства, значит прежде всего признавать и развивать уже сделанное; работа идёт, и ей нужна поддержка. Цель, та математика, о которой говорит Кра: продолжающая «расширять нашу способность рассуждать и открывать наш ум новым способам понимания».

Ключевые факты

Стэндж и Харрисс исходят из январского семинара в IHP о строгой математической иллюстрации; по его итогам написана статья «Mathematical Illustration: Proof, Intuition and AI», принятая в Notices of the American Mathematical Society.
Проблема, по описанию Брайны Кра: выпуск теорем стал главной мерой успеха, хотя был лишь заменителем понимания, а ИИ нарушил редкость глубоких теорем; Марколли добавляет, что систему ценностей сообщество выбрало само и может выбрать заново.
На примере Chair44, первой трёхмерной апериодической моноплитки, найденной GPT-6 Astra по запросу Иоанниса Циокоса, авторы показывают проблему «переваривания»: 61-страничная статья, которую автор запроса понял лишь на уровне геометрической идеи, и восьмистраничное изложение Гудмана-Штрауса с иллюстрацией.
Строгость иллюстрации авторы предлагают понимать так: аффордансы, свойства рисунка, которые доказательство подтверждает как точные; пример, множество Мандельброта и разрешение пикселей.
Предлагаемые опоры для «нематематических» форм работы: крит из художественного образования, обучение через делание, сеть Geometry Labs United; вывод, этой работе нужна поддержка.

Почему это важно

Текст не сообщает нового результата, а формулирует позицию в споре, который, по словам авторов, за последние месяцы вызвал «искренний поток» мнений о том, что значит заниматься математикой человеку. Центральная мысль: если ИИ делает доказательства менее редкими, то мерилом человеческой математики нельзя оставлять одно производство теорем; в число признаваемых форм работы авторы включают иллюстрацию, модели, программы и опыт математики. Chair44 в этом тексте, живой пример: результат получен ИИ, а понимание потребовало человеческого изложения и рисунка.

Кому это важно

Прежде всего математикам и тем, кто оценивает их работу: авторы напоминают, что должности и премии держатся на производстве теорем. Также тем, кто делает визуализации и программные иллюстрации для исследований, преподавателям математики (Geometry Labs United, доклад Гортензии Сото о физических материалах) и всем, кто следит за обсуждением роли ИИ в математике, в тексте цитируются гостевые посты Кра, Де Тоффоли и Дуэде, Сандерсона.

Как это применить

Из текста можно взять несколько приёмов. Оценивая иллюстрацию, различать, какие её свойства подтверждены доказательством (аффордансы), а какие могут быть артефактом, например, пикселизации. Для обсуждения визуальных работ использовать «крит»: показывать работу с минимальным вступлением и сравнивать восприятие аудитории с замыслом автора. В обучении опираться на делание, рисование и физические материалы, а не на разглядывание готовых картинок. Подробности предлагаемой рамки и определения аффордансов, в самой статье авторов.

Можно ли доверять

Это авторская позиция двух участников обсуждения, а не исследование с измерениями; значительная часть текста, пересказ чужих публикаций (Кра, Де Тоффоли и Дуэде, Марколли, Сандерсона), и их позиции стоит читать в оригиналах. Нахождение Chair44 системой GPT-6 Astra подано как утверждение авторов; текст не сообщает ни независимой проверки, ни того, что за система GPT-6 Astra и как её запускали, только что Гудман-Штраус изложил аргумент на восьми страницах. Редакционная пометка за подписью «T.» сообщает, что пост конвертирован из другого формата с помощью ИИ, не уточняя инструмент и степень правок.

Риски и подводные камни

Авторы сами указывают на двойственность: ИИ делает иллюстрацию доступнее, но при вайбкодинге можно оказаться «в двух шагах от знания», не понимая даже алгоритм построения изображения. И доказательство, и иллюстрация могут вводить в заблуждение: ранние картинки множества Мандельброта казались показывающими его несвязным. Проблема «переваривания» доказательств, результат есть, а понимания нет, остаётся, а признание иллюстрации и других форм работы, по словам авторов, требует поддержки, а не одних деклараций.

«Рисовать, значило знать.»

— Фредерик Брешенмахер, историк, январский семинар в IHP (цитата в тексте Стэндж и Харрисса)