Теренс Тао: усреднённая версия уравнения Навье, Стокса разрушается за конечное время

В блог-посте 2014 года (перевыложенном на Hacker News) математик Теренс Тао рассказывает о статье «Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation», загруженной на arXiv и поданной в Journal of the American Mathematical Society. Цель статьи, формализовать «барьер суперкритичности» для проблемы глобальной регулярности уравнения Навье, Стокса: показать, что эту проблему нельзя решить никаким «абстрактным» подходом, который опирается только на верхние оценки нелинейной части уравнения в функциональных пространствах в сочетании с тождеством энергии.

Для этого Тао строит модификацию уравнения Навье, Стокса, у которой нелинейный член заменён на «усреднённую» версию: она подчиняется практически всем тем же оценкам в функциональных пространствах, что и настоящий нелинейный оператор, и точно так же сохраняет тождество энергии, но при этом допускает решения, которые разрушаются (blow up) за конечное время. Поскольку усреднение строится из пространственных вращений и Фурье-мультипликаторов нулевого порядка, операторов, ограниченных в большинстве функциональных пространств, усреднённый оператор наследует почти все верхние оценки настоящего. Из этого следует, что любое доказательство глобальной регулярности «настоящего» уравнения Навье, Стокса обязано использовать какую-то дополнительную структуру нелинейности, которая не сохраняется при таком усреднении (например, то, что вихревая формулировка уравнения Навье, Стокса использует только дифференциальные, а не псевдодифференциальные операторы), а значит, чисто абстрактные подходы к проблеме не могут дать ответ.

Подобные результаты о разрушении решений получали и раньше: Montgomery-Smith, Gallagher-Paicu и Li-Sinai, для вариантов уравнения Навье, Стокса без тождества энергии; Katz-Pavlovic и Cheskidov, для дискретных (диадических) аналогов уравнения в пяти и более измерениях, но с сохранённым тождеством энергии (в ту же сторону указывают и более ранние работы Plechac, Sverak и Hou, Lei). По словам Тао, его результат, первый случай разрушения решений для уравнения типа Навье, Стокса именно в трёх измерениях с сохранением тождества энергии.

Техническая конструкция опирается на «локальные каскадные операторы» (введённые ранее Katz и Pavlovic как диадическая модель нелинейности), при использовании только таких операторов уравнение сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для «вейвлет-коэффициентов» решения на разных масштабах. У самой модели Katz, Pavlovic есть недостаток: энергия перетекает с одного масштаба на следующий слишком рано, не успевая полностью «слиться» с предыдущего, из-за чего каскад гасится диссипацией и глобальное гладкое решение всё же существует (это показали Barbato, Morandin и Romito; независимо к этому же выводу для варианта модели пришёл в неопубликованной работе Nazarov). Чтобы обойти эту проблему, Тао «сконструировал» систему ОДУ с задержкой: энергия, попавшая на один масштаб, какое-то время «копится», а затем резко и почти целиком перетекает на следующий, более мелкий масштаб, по аналогии с электрической схемой, собранной из базовых «квадратичных вентилей». Тао описывает получившуюся динамику как аналог самовоспроизводящейся машины фон Неймана: конструкция, построенная по законам (невязкой) эволюции, спустя задержку внезапно создаёт свою копию на более мелком масштабе, почти полностью стирая исходную, и поскольку время между такими «каскадами» экспоненциально убывает, вся энергия успевает перейти на бесконечно мелкие масштабы за конечное время.

Тао отдельно подчёркивает: сам метод доказательства намекает на возможный (хотя, по его словам, реальный, но отдалённый) путь к разрушению решений именно настоящего уравнения Навье, Стокса, но только для очень узкого класса начальных данных. Он также рассуждает, что аналогичную «машину фон Неймана» в принципе можно было бы построить и из законов невязкой (идеальной, несжимаемой) жидкости, уравнений Эйлера; если бы удалось собрать из идеальной жидкости достаточно «логических вентилей», задача построения такой машины свелась бы, по его выражению, скорее к инженерной задаче по проектированию программ, чем к задаче о дифференциальных уравнениях в частных производных.

Ключевые факты

Теренс Тао построил усреднённую версию нелинейного члена уравнения Навье, Стокса: она подчиняется тем же оценкам и тождеству энергии, что и настоящий оператор, но допускает решения, разрушающиеся за конечное время.
Результат формализует «барьер суперкритичности»: доказать глобальную регулярность уравнения Навье, Стокса нельзя чисто абстрактными методами, которые опираются только на верхние оценки нелинейности и тождество энергии.
Раньше похожие результаты о разрушении решений получали Montgomery-Smith, Gallagher-Paicu и Li-Sinai (без тождества энергии) и Katz-Pavlovic с Cheskidov (с тождеством энергии, но в пяти и более измерениях), работа Тао первая для трёх измерений с сохранённым тождеством энергии.
В основе конструкции, «локальные каскадные операторы» и придуманная Тао система с задержкой передачи энергии между масштабами, которую он сравнивает с самовоспроизводящейся машиной фон Неймана.
Тао считает, что метод доказательства намекает на реальный, но отдалённый путь к разрушению решений настоящего уравнения Навье, Стокса, и только для очень узкого класса начальных данных.

Почему это важно

Глобальная регулярность уравнения Навье, Стокса, одна из семи «задач тысячелетия» института Клэя: неизвестно, могут ли решения этого уравнения, описывающего течение вязкой жидкости, разрушаться за конечное время. Десятилетиями многие попытки доказать, что разрушения не бывает, шли по одному и тому же «абстрактному» пути, через верхние оценки нелинейного члена и тождество энергии. Тао формально показывает, что этот путь в принципе не может сработать: он строит уравнение, которое подчиняется тем же оценкам и тому же тождеству энергии, но всё же имеет разрушающиеся решения. Это значит, что любое будущее доказательство глобальной регулярности обязано использовать какую-то более тонкую, специфическую именно для Навье, Стокса структуру.

Кому это важно

Прежде всего, специалистам по нелинейным уравнениям в частных производных и математической гидродинамике, работающим над проблемой Навье, Стокса и смежными «критическими» и «суперкритическими» уравнениями. Результат интересен и более широкому математическому сообществу, следящему за задачами тысячелетия института Клэя, а также исследователям, использующим похожие «каскадные» и диадические модели турбулентности.

Как это применить

Практический вывод для исследователей, не пытаться доказать глобальную регулярность настоящего уравнения Навье, Стокса методами, которые опираются исключительно на верхние оценки нелинейности и тождество энергии: результат Тао формально исключает такой путь. Вместо этого нужно искать и использовать структуру, специфическую именно для Навье, Стокса и не сохраняющуюся при усреднении, например, то, что вихревая формулировка уравнения использует только дифференциальные, а не псевдодифференциальные операторы. Сам Тао также указывает на не до конца исследованное направление: построение аналогичной конструкции («машины фон Неймана») из законов невязкой жидкости, то есть уравнений Эйлера.

Можно ли доверять

Источник, собственный математический блог Теренса Тао, где он описывает свою же статью, поданную в рецензируемый Journal of the American Mathematical Society и выложенную на arXiv; для профессионального математического сообщества это стандартный и надёжный канал анонса результата. Пост датирован 2014 годом и сейчас переобсуждается на Hacker News как старый, но не потерявший интереса материал, то есть речь не о новом результате, а о напоминании об уже опубликованной работе.

Риски и подводные камни

Важно не спутать этот результат с решением самой проблемы Навье, Стокса: разрушение доказано только для специально сконструированной, искусственно «усреднённой» версии уравнения, а не для настоящего уравнения, описывающего реальные жидкости. Возможность перенести конструкцию на настоящее уравнение сам Тао называет «реальной, но отдалённой» и подчёркивает, что даже в этом случае она касалась бы лишь очень узкого класса начальных данных. Кроме того, в самом посте Тао сознательно опускает точную формулировку теоремы вместе с техническими условиями интегрируемости на Фурье-мультипликаторы, для полной строгости нужно обращаться к самой статье.

«Есть реальная, но отдалённая возможность, что подобную конструкцию удастся адаптировать к настоящим уравнениям Навье, Стокса.»

— Теренс Тао